關係(Relation) (一)：equivalence relation(等價關係)

在數學上我們會研究集合與集合之間的關係，關係有分成同一個集合之間元素的關係，已經不同集合之間元素的關係。兩個集合之間的關係我們稱之為二元關係(binary relation)，像是整數跟整數之間有大於這種關係(EX：1>-1,5>3,5>2等等) 學生跟學校之間有就讀於這種關係(EX：張三就讀於某某國小)

若兩個集合X,Y裡有一個關係S，我們通常會用x~y來表示x跟y之間有關係

在關係中有一種特別的關係叫做等價關係(equivalence relation)，等價關係是同一個集合(以下將集合以X表示)之間的關係，而且必須滿足以下三種特性：


反身性Reflexive:對每個X裡面的元素x，x~x皆成立。
ex:在整數中小於這個關係並不滿足反身性，因為每個數字x<x皆不成立
而大於等於和小於等於這兩種關係皆滿足反身性，因為每個整數x>=x跟x<=x皆會成立

對稱性Symmetric:對每個X裡面的元素x,y，若x~y成立，則y~x成立。
ex:在整數中大於這個關係並不滿足對稱性，因為若是x>y，則y>x必定不會成立。
而絕對值相等這個關係會滿足對稱性，因為|x|=|y|的話，|y|=|x|也會成立
一個常常會有人誤會的地方要注意：大於等於並不會滿足對稱性
對稱性是要把所有兩個元素間的關係都要成立，即使3>=3這個數字倒過來會成立，只要有兩個元素之間的關係不成立(4>=2成立，2>=4不成立)，就不滿足對稱性。

遞移性Transitive:對每個X裡面的元素x,y,z，若x~y和y~z皆成立，則x~z成立。
ex:整數中大於有遞移性，若x>y,y>z，則x>z
但是多1這個關係沒有遞移性，因為x=y+1,y=z+1，並不會讓x=z+1成立


在等價關係中最簡單的例子是等於
他滿足了對稱性(x=x)、反身性(若x=y則y=x)和遞移性(若x=y且y=z則x=z)
之前聽到有學弟表示等於剛好滿足等價關係的條件，我認為並不是這樣
我認為應該是數學家去尋找等於這個關係滿足了什麼條件，然後將這些特性列出來去撿查其他的關係，若是跟等於有相同的特性，我們就叫他等價關係

之後如果有空我再來談談其他特別的relation