函數是另一種常見的關係,我們常聽到的函數有二元一次函數跟一元一次函數和三角函數等等
給定兩個nonempty set X,Y，這種relation會有一個特定的對應關係,如同機器一樣經過某種運作方式將X的值轉換成Y,怎麼樣算是一個好的運作方式呢?首先，當然要每一個要方入機器的元素都成產生東西出來,所以對x ∈ X，皆存在y ∈ Y使得(x.y)∈ f,另外我們也希望相同的原料用同一個機器能夠產出固定的產品,所以對所有x ∈ X只會有維一的y ∈ Y使得(x.y)∈f,因此function的定義如下
Definition：
設X,Y為nonempty set 且 f ⊆ X ×Y, 為一個from X to Y的relation.若f滿足下列性質,則稱f為一個from X to Y的函數(function)
(1)對所有x ∈ X, 皆存在 y ∈ Y使得 (x, y) ∈ f .
(2)對所有x ∈ X, 若 y,z ∈ Y 滿足 (x, y) ∈ f 且 (x, z) ∈ f 則，y=z.
一般來說我們很少會用relation來表示function,我們通常會用f : X → Y來表示f是一個從X到Y的function,而對於x ∈ X,我們會使用f(x)=y來表示(x,y) ∈ f
在函數中有一個特別而且簡單的函數叫identity fuction
若f⊆ X ×X為一個from X to X的函數，且對所有x ∈ X，f(x)=x
則f為一個X上的 identity fuction
2015年7月21日 星期二
2015年7月3日 星期五
關係(Relation) (二)：Order(排序)
Relation中還有一種特別的關係，叫做Order relation，所謂的排序關係符合一些特別的性質，以下是介紹。
假設 X 為 nonempty set 且≼ 為 X 上的 relation. 若X符合以下三種性質，我們稱≼為X上的partial order
1.對所有的x ∈ X，皆有 x ≼ x
2.若x,y ∈ X，x≼y且y≼ x，則 x=y
3.若x,y,z ∈ X ，x≼y且y≼z，則 x≼z
跟據上一篇等價關係的敘述我們知道這個關係有Reflexive跟Transitive兩種性質，不過第二點這個性質並不是Symmetric，我們稱這種性質為Anti-symmetric，像是大於等於跟小於等於這兩種關係都有這種性質。
假設X 為 nonempty set 且≺為 X上的 relation.若 ≺ 符合以下兩種性質，我們稱 ≺為 X上的 strict total order.
1.若x,y,z ∈ X 滿足x≺y且y≺z，則 x≺z
2.對所有x,y∈ X，皆會滿足x≺y，y≺x，x=y的其中之一，並且只會剛好滿足其中之一。
partial order跟strict total order在排序上的差別就是有沒有關係排序的時候所有元素都要有關係comparable，像是在銀行領錢的時候有兩三列在排隊，那是一種partial order，你前面會有站人，你也會排在別人前面，可是你左右兩排的人既不是排在你前面，也不是排在你後面。
另外舉個partial order的例子，1~100的整數，若是最左邊的數字相同，則比較實際數值大小
最最我邊位數不同，則兩數沒有排序關係。
例：15 ≼15，15 ≼100，2 ≼23，23 ≼24，但是35跟45就沒有關係。
strict total order是整個集合裡面要完整個排出順序來，所以任意兩個元素互相比較一定有前面跟後面的關係，整數從小排到大或從大排到小就是一個常見的排序關係。
排序會因為排序的方法不同造成同一個集合的關係不一樣，像是A-Z跟a-z這些英文字母，
如果是先比大小寫，再比字母順序的話，排序方式為：A,B,C,D...,Z,a,b...,z
但是如果先比字母順序，再比大小寫的話，排序方式為：A,a,B,b,C,c...,Z,z
最後，排序跟能不能比大小不同，你只要訂好一個規則，那些規則滿足排序的性質，就算是一個排序，而比大小要去檢查他們任兩個元素能不能有>或<的關係，所以以後聽到某個集合不能比大小時，不要直覺就認為這個集合不能排序
假設 X 為 nonempty set 且≼ 為 X 上的 relation. 若X符合以下三種性質，我們稱≼為X上的partial order
1.對所有的x ∈ X，皆有 x ≼ x
2.若x,y ∈ X，x≼y且y≼ x，則 x=y
3.若x,y,z ∈ X ，x≼y且y≼z，則 x≼z
跟據上一篇等價關係的敘述我們知道這個關係有Reflexive跟Transitive兩種性質，不過第二點這個性質並不是Symmetric，我們稱這種性質為Anti-symmetric，像是大於等於跟小於等於這兩種關係都有這種性質。
假設X 為 nonempty set 且≺為 X上的 relation.若 ≺ 符合以下兩種性質，我們稱 ≺為 X上的 strict total order.
1.若x,y,z ∈ X 滿足x≺y且y≺z，則 x≺z
2.對所有x,y∈ X，皆會滿足x≺y，y≺x，x=y的其中之一，並且只會剛好滿足其中之一。
partial order跟strict total order在排序上的差別就是有沒有關係排序的時候所有元素都要有關係comparable，像是在銀行領錢的時候有兩三列在排隊，那是一種partial order，你前面會有站人，你也會排在別人前面，可是你左右兩排的人既不是排在你前面，也不是排在你後面。
另外舉個partial order的例子，1~100的整數，若是最左邊的數字相同，則比較實際數值大小
最最我邊位數不同，則兩數沒有排序關係。
例：15 ≼15，15 ≼100，2 ≼23，23 ≼24，但是35跟45就沒有關係。
strict total order是整個集合裡面要完整個排出順序來，所以任意兩個元素互相比較一定有前面跟後面的關係，整數從小排到大或從大排到小就是一個常見的排序關係。
排序會因為排序的方法不同造成同一個集合的關係不一樣，像是A-Z跟a-z這些英文字母，
如果是先比大小寫，再比字母順序的話，排序方式為：A,B,C,D...,Z,a,b...,z
但是如果先比字母順序，再比大小寫的話，排序方式為：A,a,B,b,C,c...,Z,z
最後，排序跟能不能比大小不同，你只要訂好一個規則，那些規則滿足排序的性質，就算是一個排序，而比大小要去檢查他們任兩個元素能不能有>或<的關係，所以以後聽到某個集合不能比大小時，不要直覺就認為這個集合不能排序
2015年6月28日 星期日
關係(Relation) (一)：equivalence relation(等價關係)
在數學上我們會研究集合與集合之間的關係，關係有分成同一個集合之間元素的關係，已經不同集合之間元素的關係。兩個集合之間的關係我們稱之為二元關係(binary relation)，像是整數跟整數之間有大於這種關係(EX：1>-1,5>3,5>2等等)
學生跟學校之間有就讀於這種關係(EX：張三就讀於某某國小)
若兩個集合X,Y裡有一個關係S，我們通常會用x~y來表示x跟y之間有關係
在關係中有一種特別的關係叫做等價關係(equivalence relation)，等價關係是同一個集合(以下將集合以X表示)之間的關係，而且必須滿足以下三種特性：
反身性Reflexive:對每個X裡面的元素x，x~x皆成立。
ex:在整數中小於這個關係並不滿足反身性，因為每個數字x<x皆不成立
而大於等於和小於等於這兩種關係皆滿足反身性，因為每個整數x>=x跟x<=x皆會成立
對稱性Symmetric:對每個X裡面的元素x,y，若x~y成立，則y~x成立。
ex:在整數中大於這個關係並不滿足對稱性，因為若是x>y，則y>x必定不會成立。
而絕對值相等這個關係會滿足對稱性，因為|x|=|y|的話，|y|=|x|也會成立
一個常常會有人誤會的地方要注意：大於等於並不會滿足對稱性
對稱性是要把所有兩個元素間的關係都要成立，即使3>=3這個數字倒過來會成立，只要有兩個元素之間的關係不成立(4>=2成立，2>=4不成立)，就不滿足對稱性。
遞移性Transitive:對每個X裡面的元素x,y,z，若x~y和y~z皆成立，則x~z成立。
ex:整數中大於有遞移性，若x>y,y>z，則x>z
但是多1這個關係沒有遞移性，因為x=y+1,y=z+1，並不會讓x=z+1成立
在等價關係中最簡單的例子是等於
他滿足了對稱性(x=x)、反身性(若x=y則y=x)和遞移性(若x=y且y=z則x=z)
之前聽到有學弟表示等於剛好滿足等價關係的條件，我認為並不是這樣
我認為應該是數學家去尋找等於這個關係滿足了什麼條件，然後將這些特性列出來去撿查其他的關係，若是跟等於有相同的特性，我們就叫他等價關係
之後如果有空我再來談談其他特別的relation
若兩個集合X,Y裡有一個關係S，我們通常會用x~y來表示x跟y之間有關係
在關係中有一種特別的關係叫做等價關係(equivalence relation)，等價關係是同一個集合(以下將集合以X表示)之間的關係，而且必須滿足以下三種特性：
反身性Reflexive:對每個X裡面的元素x，x~x皆成立。
ex:在整數中小於這個關係並不滿足反身性，因為每個數字x<x皆不成立
而大於等於和小於等於這兩種關係皆滿足反身性，因為每個整數x>=x跟x<=x皆會成立
對稱性Symmetric:對每個X裡面的元素x,y，若x~y成立，則y~x成立。
ex:在整數中大於這個關係並不滿足對稱性，因為若是x>y，則y>x必定不會成立。
而絕對值相等這個關係會滿足對稱性，因為|x|=|y|的話，|y|=|x|也會成立
一個常常會有人誤會的地方要注意：大於等於並不會滿足對稱性
對稱性是要把所有兩個元素間的關係都要成立，即使3>=3這個數字倒過來會成立，只要有兩個元素之間的關係不成立(4>=2成立，2>=4不成立)，就不滿足對稱性。
遞移性Transitive:對每個X裡面的元素x,y,z，若x~y和y~z皆成立，則x~z成立。
ex:整數中大於有遞移性，若x>y,y>z，則x>z
但是多1這個關係沒有遞移性，因為x=y+1,y=z+1，並不會讓x=z+1成立
在等價關係中最簡單的例子是等於
他滿足了對稱性(x=x)、反身性(若x=y則y=x)和遞移性(若x=y且y=z則x=z)
之前聽到有學弟表示等於剛好滿足等價關係的條件，我認為並不是這樣
我認為應該是數學家去尋找等於這個關係滿足了什麼條件，然後將這些特性列出來去撿查其他的關係，若是跟等於有相同的特性，我們就叫他等價關係
之後如果有空我再來談談其他特別的relation
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