生日悖論

生日悖論是考慮下面這個問題：假設一個班級有23個或23個以上的人，那麼至少有兩個人生日相同的機率大於50%，對於60或更多的人，至少有兩個人生日相同的機率大於99%，從引起邏輯角度來看生日悖論不是一種悖論，這邊的悖論是指這個數學事實與一般直覺相抵觸。


將問題重新整理一邊，假設一個班級有N個人，每個人生日的日期是隨機的(不考慮2/29)，那麼至少有兩個人生日相同的機率是多少呢？
大約要多少人，至少有兩個人生日相同的機率才會大於50%呢？

看到這個問題一般的直覺會覺得說一年有365天，大概要50~100人以上才會讓至少有兩個人生日相同的機率大於50%吧，怎麼會只要23人呢，事實上解決這個問題可以用簡單的高中數學來想。

考慮此事件的補集：所有人生日都不同的機率
N個人生日皆不同的機率為1  * 364/365 * 363/365 * ... * (365-N+1)/365

用階層可表示為 365! /[(365^N)(365-N)!]

而至少有兩個人生日相同的機率就是 1-  365! /[(365^N)(365-N)!]

這個數字在N=20時大約是41%
N=23時會大於50%
N=30時約為70%
N在60以上的時候就會超過99%



一般會覺得生日相同不常見主要是因為只專注在生日跟自己相同的人
此時補集的機率就是(364/365)^N，這個數字會比至少兩人生日相同來的大非常多


不過一般來講真實世界的生日分佈並不是平均分佈的，這種非均衡的生日分佈問題則會是另一種數學問題，並且此問題也被解決了[Klamkin 1967]

其實很多數學跟生活上的問題不會如同直覺那樣簡單，在看到問題時不彷坐下來思考並想想問題是否有解，有時候得到的結論會跟自己想像的遠遠不同，相當有趣