關係(Relation) (三)：函數(function)

函數是另一種常見的關係,我們常聽到的函數有二元一次函數跟一元一次函數和三角函數等等

給定兩個nonempty set X,Y，這種relation會有一個特定的對應關係,如同機器一樣經過某種運作方式將X的值轉換成Y,怎麼樣算是一個好的運作方式呢?首先，當然要每一個要方入機器的元素都成產生東西出來,所以對x ∈ X，皆存在y ∈ Y使得(x.y)∈ f,另外我們也希望相同的原料用同一個機器能夠產出固定的產品,所以對所有x ∈ X只會有維一的y ∈ Y使得(x.y)∈f,因此function的定義如下

Definition：
設X,Y為nonempty set 且 f ⊆ X ×Y, 為一個from X to Y的relation.若f滿足下列性質,則稱f為一個from X to Y的函數(function)
(1)對所有x ∈ X, 皆存在 y ∈ Y使得 (x, y) ∈ f .
(2)對所有x ∈ X, 若 y,z ∈ Y 滿足 (x, y) ∈ f 且 (x, z) ∈ f 則，y=z.


一般來說我們很少會用relation來表示function,我們通常會用f : X → Y來表示f是一個從X到Y的function,而對於x ∈ X,我們會使用f(x)=y來表示(x,y) ∈ f

在函數中有一個特別而且簡單的函數叫identity fuction
若f⊆ X ×X為一個from X to X的函數，且對所有x ∈ X，f(x)=x
則f為一個X上的 identity fuction